Изилдөөнүн кыскача аннотациясы (актуалдуулугу 200 сөздөн кем эмес): Проект посвящен развитию теории глобальной динамики негладких систем, заданных дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями и с обобщенными функциями в правой части, и их применению к решению актуальных прикладных задач. Проблема крайне актуальна ввиду того, что до сих пор не существует содержательной математической теории нелокальных бифуркаций, аналогичной той, что создана сейчас для гладких отображений (диффеоморфизмов и эндоморфизмов). Актуальность решения проблемы объясняется потенциальными приложениями результатов во многих областях науки и техники. Сюда относятся приложения к силовой электронике и теории управления, механике, а также биологии, медицине, экономике и социальным наукам. Проект будет выполнен в рамках договора о сотрудничестве между Ошским государственным университетом (Кыргызская Республика, г. Ош) и Федеральним государственным бюджетным образовательным учреждением высшего образования «Юго-Западный государственный университет» (Россия, Курск). Основные задачи проекта группируются на следующих направлениях исследований: 1. Нелокальная динамика негладких непрерывных отображений, связанной с кризисами хаотических аттракторов, бифуркациями граничного столкновения и мультистабильностью. 2. Нелинейные явления в гибридных системах, в приложении к эндокринными системам. Исследования базируются на прорывных результатах теории негладких динамических систем, полученных руководителем проекта проф. Жусубалиевым Ж.Т. течение более чем 30 лет в совместных исследованиях с ведущими научно-образовательными центрами Европы (Дания, Швеция, Германия, Испания), Латинской Америки (Колумбия), Индии и России. Результаты исследований имеют важное значение в научно-образовательной деятельности ОшГУ и определяется стратегическими задачами университета, а именно: привлечение талантливой молодежи в науку, создание реальных условий для их интеграции в мировой научный рынок; повышение образовательного уровня студентов, аспирантов; увеличение международной академической мобильности студентов, аспирантов, молодых ученых и преподавателей; усиление мирового уровня научных исследований и образовательной деятельности; увеличение доли фундаментальных научных исследований, разработка и реализация новых образовательных программ для достижения стратегических целей развития ОшГУ с привлечением ведущих ученых.

Акыркы 5 жыл ичинде аткарган долбоорлор боюнча маалымат: Исследования базируются на прорывных результатах теории негладких динамических систем, полученных руководителем проекта проф. Жусубалиевым Ж.Т. течение более чем 30 лет в совместных исследованиях с ведущими научно-образовательными центрами Европы (Дания, Швеция, Германия, Испания), Латинской Америки (Колумбия), Индии и России. Задачи проекта являются развитием этих исследований. В качестве задела можно указать следующие результаты, указанные ранее. 1. Разработанные методы математического моделирования импульсных систем автоматического управления в форме дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и методы сведения таких моделей к кусочно-гладким отображениям [1-4]. 2. Разработанные методы исследования «border-collision» явлений в многомерных динамических системах, представленные в монографии Zhusubaliyev Zh. T., E. Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. – World Scientific, Singapore, 2003 и главе справочника: Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Chaos in Pulse-Width Modulated Control Systems. Handbook of Chaos Control, 2nd Edition, Sholl and Schuster (Eds.), (Wiley - VCH, Weinheim, Germany), 2008. P.771-791. 3. Разработанные алгоритмы и методы поиска периодических движений и анализа их локальной устойчивости для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и негладких отображений (см., например, [1-3]). 4. Разработанные численные алгоритмы и программное обеспечение для бифуркационного анализа кусочно-гладких динамических систем, реализованные в программном пакете. 5. Разработанный теоретический аппарат бифуркационного анализа негладких отображений с очень большим числом многообразий переключения, а также методы исследования и описания бифуркационных структур областей с регулярной динамикой, основанные на символической динамике. 6. Разработанные алгоритм расчета устойчивых/неустойчивых инвариантных множеств негладких отображений [5-7]. 7.Кроме того, задачи второго года выполнения проекта являются продолжением исследований, которые выполняются совместно с Uppsala University (Sweden) с 2010 года по настоящее время.

Долбоорду изилдөөнүн максаты,милдети жана объектиси: Негладкие динамические системы, заданные дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями и с обобщенными функциями в правой части, которые сводятся к негладким разрывным или непрерывным отображениям, возникают во многих приложениях современной теории динамических систем, например, в силовой электронике и теории управления, механике, а также в биологии, медицине, экономике и социальных науках. Такие математические модели демонстрируют широкий круг нелинейных явлений, индуцированных как классическими, так и специальными типами бифуркаций, получившими название бифуркаций «граничного столкновения» («border ollision») (для отображений) или «C-бифуркаций» (для векторных полей, «С» – от слова «сшивать». Негладкие отображения «сшиваются» из отдельных гладких функций, области определения которых разделены так называемыми многообразиями переключения. При вариации параметров инвариантное множество, например, неподвижная точка или периодическая орбита сталкивается с одним из многообразий переключения. Это приводит к специфическим перестройкам фазового пространства из-за нарушения условий существования неподвижной точки или периодической орбиты. Такие топологические перестройки фазового пространства вызывают необычные 4 нелинейные явления, например, напрерывный переход от одного типа периодического движения к другому («persistence border collision»). Возможны и более сложные бифуркационные переходы, например, «умножение» периода колебаний, рождение из неподвижной точки квазипериодических или хаотических колебаний. Бифуркации «граничного столкновения» не имеют аналогов в гладких системах и не связаны с нарушением условия гиперболичности неподвижной/периодической точки, поэтому они не поддаются анализу методами классической теории бифуркаций. Выделяют локальные и глобальные (нелокальные) бифуркации. Как известно, локальные бифуркации определяются локальными свойствами инвариантных множеств, такими как матрица Якоби и ее собственные числа (мультипликаторы), вычисленные в неподвижных точках или на траектории периодического движения. В результате таких бифуркаций неподвижная точка или цикл могут возникнуть/исчезнуть или потерять локальную устойчивость. Примерами локальных бифуркаций в гладких динамических системах являются бифуркации седло-узел, удвоения периода, вилообразная бифуркация, бифуркация Неймарка-Сакера. Если же динамическая система негладкая, то помимо классических локальных бифуркаций, связанных с устойчивостью инвариантных множеств, как мы уже отмечали выше, возможны «border collision» явления, не имеющие аналогов в гладких системах. Многие бифуркации граничного столкновения («border collision») являются локальными, и в этом случае к ним применима теория нормальных форм. Однако, существуют бифуркации граничного столкновения, которые не относятся к локальным, например, в разрывных отображениях. Кроме того, в кусочно-линейных отображениях классические локальные бифуркации встречаются в вырожденной форме («degenerate bifurcations»), сочетая свойства как локальных, так и нелокальных. Глобальные (нелокальные) бифуркации не связаны с локальными свойствами инвариантных множеств и определяются глобальными изменениями топологической структуры фазового пространства динамической системы. Одной из важных задач нелинейной динамики – это исследование мультистистабильных негладких хаотических систем. В настоящее время создана теория скрытых аттракторов только для гладких систем. Как известно, глобальная устойчивость является редким свойством нелинейных систем, поскольку из этого свойства вытекает, что существует единственный аттрактор, которых притягивает все траектории фазового пространства. В реальных системах при одних и тех же параметрах могут сосуществовать несколько аттракторов. Особенность мультистабильных систем состоит в высокой чувcтвительности к внешним помехам. Даже сколь угодно малые вариации параметров при наличии внешних случайных помех могут приводить к непрогнозируемым изменениям динамики, например, к взрывной хаотизации колебаний. При вариации параметров наблюдаются глобальные перестройки фазового пространства, обусловленные образованием гомо- или гетероклинических структур, качественными изменениями границ бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов, приводящими к кризисам. В негладких системах такие явления связаны с глобальными бифуркациями, индуцированными как с касанием, так и с «контактам» инвариантных многообразий седловой периодической орбиты в точках негрубой гомоклинической траектории. В настоящее время для негладких систем до сих пор не существует содержательной математической теории нелокальных бифуркаций, аналогичной той, что создана сейчас для гладких отображений (диффеоморфизмов и эндоморфизмов). Цель проект – развитие теории негладких динамических систем на основе создания новых численных методов и алгоритмом математического моделирования нелинейных явлений, индуцированных нелокальными бифуркациями, бифуркациями граничного столкновения в стратегически важных приложениях современной теории динамических систем (силовая электроника, теория управления, эндокринология). Бифуркационный анализ конкретного класса динамических систем (математических моделей, заданных дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями и с обобщенными функциями в правой части) со сложным поведением в целях получения новых знаний о глобальной динамике негладких систем, обнаружения, прогнозирования, подавления нерегулярных колебаний и катастрофических явлений, а также разработки практических рекомендаций по обеспечению управляемых колебательных 5 режимов с заданными динамическими характеристиками. Задача крайне актуальна ввиду того, что до сих пор не существует содержательной математической теории нелокальных бифуркаций, аналогичной той, что создана сейчас для гладких отображений (диффеоморфизмов и эндоморфизмов).

Долбоордун идеясын ишке ашыруу мүмкүнчүлүктөрү жана изилдөөнүн методу: 1. Разработанные методы математического моделирования импульсных систем автоматического управления в форме дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и методы сведения таких моделей к кусочно-гладким отображениям [1-4]. Адекватность таких моделей подтверждена опорой на теоретически обоснованные допущения и результатами экспериментальных исследований, приведенных в учебниках по теории управления и силовой электронике и в огромном числе публикаций. 2. Разработанные методы исследования «border-collision» явления в многомерных динамических системах, частично представленные в монографии Zhusubaliyev Zh. T., E. Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. – World Scientific, Singapore, 2003 и главе справочника: Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Chaos in Pulse-Width Modulated Control Systems. Handbook of Chaos Control, 2nd Edition, Sholl and Schuster (Eds.), (Wiley - VCH, Weinheim, Germany), 2008. P.771-791. 3. Разработанные алгоритмы и методы поиска периодических движений и анализа их локальной устойчивости для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и негладких отображений (см., например, [1-3]). 4. Разработанные численные алгоритмы и программное обеспечение для бифуркационного анализа кусочно-гладких динамических систем, реализованные в программном пакете. 5. Разработанный теоретический аппарат бифуркационного анализа негладких отображений с очень большим числом многообразий переключения, а также методы исследования и описания бифуркационных структур областей с регулярной динамикой, основанные на символической динамике. 6. Разработанные алгоритм расчета устойчивых/неустойчивых инвариантных множеств негладких отображений [5-7].

Долбоордун башка өзгөчөлүктөрү: Многие задачи механики, физики, теории систем автоматического уравнения, силовой электроники, биологии, экономики и социальных наук приводят к негладким динамическим моделям в форме дифференциальных уравнений с разрывной правой частью или негладких отображений [1– 10]. Заметим, что такие отображения могут быть получены из заданного векторного поля или введены как самостоятельные модели, например, в задачах экономики, биологии [9]. Фазовое пространство дифференциальных уравнений с разрывной правой частью разделено некоторыми поверхностями на отдельные области, в каждой из которых движения описываются разными гладкими векторными полями [11]. При изменении параметров возможны специфические нарушения топологической структуры фазового пространства, когда траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания. Это вызывает нарушение условий существования этого решения [11]. Такие топологические перестройки фазового пространства и получили название С-бифуркаций («С» – от слова сшивать). Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью обычно сводятся к негладким отображениям. Такие отображения демонстрируют широкий круг нелинейных явлений, индуцированных как классическими, так и специальными бифуркациями, получившими название бифуркаций «граничного столкновения» («border collision»). Негладкие отображения «сшиваются» из отдельных гладких функций, области определения которых разделены так называемыми многообразиями переключения (switching manifolds). При вариации параметров инвариантное множество, например, неподвижная/периодическая точка дискретной системы сталкивается с одним из многообразий переключения. Это приводит к специфическим перестройкам фазового пространства из-за нарушения условий существования неподвижной/периодической точки. Такие топологические перестройки фазового пространства вызывают необычные нелинейные явления, например, непрерывный переход от одного типа периодического движения к другому («persistence border collision»). Возможны и более сложные переходы, например, «умножение» периода колебаний, рождение из неподвижной точки квазипериодических или хаотических колебаний в результате единственной бифуркации. Бифуркации «граничного столкновения» не имеют аналогов в гладких системах и не связаны с нарушением условия гиперболичности неподвижной/периодической точки, поэтому они не поддаются анализу методами классической теории бифуркаций. Выделяют локальные и глобальные (нелокальные) бифуркации. Как известно, локальные бифуркации определяются локальными свойствами инвариантных множеств, такими как матрица 8 Якоби и ее собственные числа (мультипликаторы), вычисленные в неподвижных точках или на траектории периодического движения. В результате таких бифуркаций неподвижная точка или цикл могут возникнуть/исчезнуть или потерять локальную устойчивость. Примерами локальных бифуркаций в гладких динамических системах являются бифуркации седло-узел, удвоения периода, вилообразная бифуркация, бифуркация Неймарка-Сакера. Если же динамическая система негладкая, то помимо классических локальных бифуркаций, связанных с устойчивостью инвариантных множеств, как мы уже отмечали выше, возможны «border collision» явления, не имеющие аналогов в гладких системах. Многие бифуркации граничного столкновения («border collision») являются локальными, и в этом случае к ним применима теория нормальных форм. Однако, существуют бифуркации граничного столкновения, которые не относятся к локальным, например, в разрывных отображениях. Кроме того, в кусочно-линейных отображениях классические локальные бифуркации встречаются в вырожденной форме («degenerate bifurcations»), сочетая свойства как локальных, так и нелокальных [3,10]. Глобальные (нелокальные) бифуркации не связаны с локальными свойствами инвариантных множеств и определяются глобальными изменениями топологической структуры фазового пространства динамической системы. Они могут быть связаны, например, с касаниями или «контактами» в точках гомо-, гетероклинической траекторий, а затем и трансверсальными пересечениями устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит. I. Основы математической теории нелокальных бифуркаций многомерных гладких динамических систем} были заложены в работах Л.П. Шильникова. В дальнейшем нелокальные бифуркации изучались и развиты в работах [14--21] и др. В настоящее время принято считать, что в конечномерных гладких динамических системах могут наблюдаться три принципиально различных формы хаоса. Это «диссипативный хаос», «консервативный хаос» и «смешанная динамика». В последние годы этом направлении развита теория псевдогиперболических странных аттракторов диссипативных систем, изучены глобальные бифуркации диссипативных и гамильтоновых систем, развита концепция смешанной динамики для обратимых систем [20]. Современное состояние и последние результаты этих исследований представлены в обзорe [20,21]. Следует заметить, что современная теория глобальных бифуркаций и гомоклинического хаоса, за исключением нескольких работ, в основном имеет дело с диффеоморфизмами [20]. II. Однако, как было отмечено выше, многие модели в экономике, теории популяций и в других приложениях теории динамических систем часто приводят к гладким необратимым отображениям или эндоморфизмам. Математическая теория таких отображений была развита в работах Mira Ch., Gumowski I., Gardini L. [22,23] и др. и составляет самостоятельную часть современной теории динамических систем. В этих и ранних работах Mira Ch. впервые введено понятие критической кривой при изучении двумерных эндоморфизмов. В последующих работах исследована роль критических кривых в глобальной динамике. Важно отметить, что математический аппарат, терминология и результаты этой теории во многом отличаются от теории диффеоморфизмов [20]. III. И наконец,– теория кусочно-гладких систем. Этот раздел теории динамических систем стал развиваться бурно, начиная с середины 90-х годов. За прошедшие 25-30 лет были получены важнейшие результаты, связанные с «border collision» явлениями (см., например, [4--6, 8--10]). Теория бифуркаций одномерных кусочно-непрерывных отображений носит почти законченный характер [10]. Во всяком случае, есть основания считать, что все основные «border collision» бифуркации коразмерности один изучены [10]. В отношении глобальных бифуркаций и связанных с ними нелинейных явлений в системах размерности два и выше этого сказать нельзя. Например, до сих пор не существует содержательной математической теории глобальных бифуркаций, аналогичной той, что создана сейчас для гладких отображений (диффеоморфизмов и эндоморфизмов). Таким образом, развитие теории нелокальных бифуркаций в негладких динамических 9 системах в составляет актуальное междисциплинарное направление исследований современной нелинейной динамики, представляющее значительный интерес с фундаментальной и прикладной точек зрения. Это объясняется реальными перспективами применения результатов к исследованию актуальных прикладных задач. Перечислим некоторые из них: – Прикладная теория автоматического управления: системы управления в современной силовой электронике и электромеханике, например, управляемые преобразователи возобновляемых источников энергии (солнечная энергетика, ветрогенераторы); регулируемые электропривода промышленных роботов и электрического транспорта; системы энергообеспечения и бесперебойного питания вычислительной техники, медицинского оборудования и т.д. (см, например, [4--6]). – Нейродинамика и медицина: изучение влияния циркадного ритма на различные физиологические процессы, например, гормональную регуляцию, фаз сна и бодрствования; математические модели биологических осцилляторов нервной и сердечной ткани; задачи нейроэндокринологии; изучение сердечных аритмий, например, атриовентрикилярной (АВ) блокады Венкебаха (см, например, [24--31); – вибрационная механика: осцилляторы с сухим трением и ударами [6--8]; мобильные и беспилотные робототехнические системы. – Интересным примером негладкой динамической системы является биомеханическая модель баланса пешехода, идущего по мосту, в которой переключения между системами соответствуют переносу веса пешехода с одной ноги на другую [33,34]. Другим приложением негладких систем является построение моделей, заменяющих неинтегрируемые хаотические нелинейные системы и допускающие аналитическое исследование. Такой подход был предложен авторами [33,35] и применен к известной системе Лоренца, в частности, получено строгое доказательство существования сингулярно-гиперболического аттрактора [35,36]. В современной теории негладких динамических систем в настоящее время работают следующие научные группы проф. Banerjee S. (Индия); группа Бристольского университета проф. Di Bernardo M., Hogan J. и др. (Англия); проф. Жусубалиев Ж.Т. (Россия) и Mosekilde E. (Дания); проф. Tse C. K.(Гонконг); проф. Gardini L. (Италия); проф. Avrutin V. (Германия); проф. El Aroudi A. (Испания) и др.

Долбоордун темасы боюнча илимий иштердин байланышы:

Изилдөө долбоорунун натыйжасы: 1. Публикации в высокорейтинговых специализированных журналах по нелинейной динамике. 2. Результаты исследований проекта будут систематизировать в виде численных методов, алгоритмов, новых знаний, бифуркационых сценариев, математического аппарата, которые можно использовать при решении прикладных задач и в образовательной деятельности ОшГУ. 3. Планируется государственная регистрация программ для ЭВМ алгоритмов бифукационного анализа. 4. Планируется издание монографии, а также внедрение результатов исследований в учебный процесс: разработка учебного курса по прикладной теории негладких систем, издание методических указаний к выполнению практических лабораторных работ